Herr G. Bartner, Herr K.-J. Bock, Frau S. Braak, Herr Dr. A. Degenhard, Frau S. Döscher-
Bergmann, Frau M. Fredrich, Frau Dr. H. Freytag-Grunert, Frau A. Froh, Herr B. Garcia, Frau M. Griep,
Herr St. Heetlage, Herr. Dr. Chr. Möller, Herr M. Nientiedt, Herr H. Spiering,
Frau U. Sprenger, Herr G. Troß

Am GBI schon seit vielen Jahren praktiziert

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Der Videoausschnitt ist am 4.4.03, in der letzten Mathematikstunde des Mathematik-
Leistungskurses MA2 vor der schriftlichen Abiturarbeit im Schuljahr 2002/2003 aufgenommen worden. Bei dieser Lerngruppe handelt es sich um Schüler, die viele Jahre nach dem Osnabrücker Curriculum [1] unterrichtet worden sind. Dieses Curriculum ist über viele Jahre im Auftrag des Niedersächsischen Kultusministers unter maßgeblicher Beteilung von Lehrkräften des GBI entwickelt und am GBI erprobt worden. Der Videoausschnitt soll eine Vorstellung davon vermitteln, zu welchen Verstehensleistungen Schülerinnen und Schüler in einem nach diesem Curriculum praktizierten, auf Diskursivität ausgerichteten Mathematikunterricht befähigt werden können.

von links: Tim Spiering, Frau Dr. Kaune, Christian Meyer, Tobias Mindrup, Stefan Fröstl, Stefan Krumpe, Daniel Heidecker, Ute Schulze-Mönking, Bernd Peterwerth, Heike Lilienbecker, Theresa Mechow, Katja Brune, Claudia Börnhorst, Philipp Rahe, Christian Dörffel

(Bild folgt)

Es fallen schon an diesem kurzen Mitschnitt von nur vier Minuten eine Reihe von Merkmalen des in dieser Lerngruppe praktizierten Unterrichts auf:

In der Gruppe herrscht eine mathematische Unterrichtskultur, die mit dem Wort diskursiv [2] passend beschrieben ist: Diese Schüler sind erzogen, die Gedanken ihrer Mitschüler zu analysieren und reflektieren, sich gegenseitig das Wort zu erteilen und sich gegenseitig Fragen zu beantworten. Sie sind in der Lage, aus dem Gesagten ihrer Mitschüler das Gemeinte zu entnehmen und bei Abweichungen dies auch anzumerken. Fehler werden nicht nur benannt, sondern sofort die den meisten Fehlern zu Grunde liegenden Fehlvorstellungen aufgedeckt und ausgeräumt.

Im Mittelpunkt des Unterrichts steht das Lernen jedes einzelnen Schülers, seine Vorstellungen, die er sich vom Unterrichtsgegenstand (in diesem Ausschnitt: dem zu beweisenden Satz) macht. Das Lehren des Lehrers ist darauf ausgerichtet, adäquate Vorstellungen und die dazu passenden Darstellungen zu entwickeln bzw. zu präsentieren.

Die Rolle des Lehrers kann man als Moderator [3] bezeichnen. Die Schüler sind in den letzten Jahren so erzogen worden, dass sie in dieser Jahrgangsstufe auch Moderatorentätigkeiten von dem Lehrer übernommen haben. Dies zeigt sich z.B. beim Inbezugsetzen der einzelnen Schüleräußerungen.

Das Thema der Stunde wurde von den Schülern gewählt: Beweis eines bisher unbekannten Satzes im Theoriegebäude eines euklidischen Vektorraumes. Der Videoausschnitt beginnt, nachdem ein Satz in Infixschreibweise an die Tafel notiert worden war und auf Wunsch mehrerer Schüler dieser Satz in Praefixnotation umgeschrieben werden sollte. Im ersten Versuch wird nicht deutlich, aus welchen algebraischen Strukturen die Funktionen gewählt sind, an ihren Funktionsnamen ist dies nicht zu erkennen. Deshalb wird zunächst durch Indizierung deutlich gemacht, um welche Funktionen es sich handelt und ein Fehler in einer Termstruktur behoben. Fragen nach der Stelligkeit der benutzten Funktionen, die durch die Anzahl der Komponenten im Argumenttupel nach dem Funktionennamen sichtbar ist, führen bei der an der Tafel schreibenden Schülerin zur Verwendung von farbiger Kreide, um die Reichweite der Terme und die Argumente der verwendeten Funktionen deutlich zu machen. Dass dadurch Verständnis erreicht wird, ist an den Äußerungen zu erkennen.

Während der Term rechts des Gleichheitszeichens diktiert wird, kann man feststellen, dass die Schülerin an der Tafel sowohl Semantik als auch Syntax des Diktierten überprüft, fehlerhaft Diktiertes nicht notiert und statt dessen eine Erklärung für die Ursache des entdeckten Fehlers liefert. Es folgt eine kurze Diskussion, in der unterschiedliche Erinnerungen auftreten, unter welchem Namen die Funktion "Multiplikation" im Körper der reellen Zahlen bei der Behandlung des Themas, vor etwa neun Monaten, geführt worden war. Ein Problem tritt bei dem Minuszeichen rechts vom Gleichheitszeichen auf: Um welche Inversenfunktion handelt es sich und welche sind ihre Argumente? Auch dieses Problem wird von den Schülern eigenständig und sachgerecht ohne Einwirkung des Lehrers gelöst.

In dem Videoausschnitt beteiligen sich 8 von 14 anwesenden Kursteilnehmern am Gespräch. Allen kann man attestieren, dass sie ein tiefes Verständnis von der axiomatischen Auffassung von Mathematik erworben haben. Die diesem Beweis zu Grunde liegenden algebraischen Strukturen wie "abelsche Gruppen", "Körper der reellen Zahlen", "Vektorraum" und "euklidischer Vektorraum" sind ihnen präsent und werden von verschiedenen Schülern in ihren jeweiligen Begründungen sachgerecht eingesetzt.

Um in dem axiomatischen Beweis keine Beweislücke zu erzeugen, ist auf Vorschlag einiger Schüler die Darstellungsform gewechselt worden. Diesem Wunsch, der in einer Präferenz für eine kognitive Struktur einiger Schüler begründet zu sein scheint, wurde von allen entsprochen. Seit Beginn ihres Mathematikunterrichtes wurde die Existenz von unterschiedlichen kognitiven Strukturen [4] und deren Auswirkung auf das Lernen von Mathematik mit diesen Schülern besprochen.
Dr. Christa Kaune

[1] Cohors-Fresenborg, E. (2001): Mathematik als Werkzeug zur Wissensrepräsentation: das Osnabrücker Curriculum. Der Mathematikunterricht, 47, Heft 1, S. 5-13.
[2] Cohors-Fresenborg, E. & Kaune, C.: Unterrichtsqualität: Die Rolle von Diskursivität für „guten“ gymnasialen Mathematikunterricht. Erscheint in: Beiträge zum Mathematikunterricht 2003, Hildesheim: Franzbecker
[3]Klieme, E. u.a.: Mathematikunterricht in der Sekundarstufe I: „Aufgabenkultur“ und Unterrichtsgestaltung. In: BMBF (Hrg.): TIMSS – Impulse für Schule und Unterricht 2001. Bonn.
[4] Schwank, I: Einführung in funktionales und prädikatives Denken. In: Zentralblatt für Didaktik der Mathematik, Jahrgang  35, Heft 3, S. 70 - 78